🔎 Espace vectoriel : définition et explications (2023)

En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.

Étant donné un corps (commutatif) K, un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...) E sur K est un groupe commutatif (dont la loi est notée +) munie d'une action compatible de K (voir la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) exacte). Les éléments de E sont appelés des vecteurs, et les éléments de K des scalaires.

Historique

Les premières traces (TRACES (TRAde Control and Expert System) est un réseau vétérinaire sanitaire de...) de discussion concernant les espaces vectoriels et peuvent se reconnaître dans les écrits des mathématiciens français Descartes et Fermat, vers 1636. Il était alors plutôt question de représentation graphique à partir des coordonnées que du concept de vecteur, encore inconnu.

Afin de parvenir à une résolution géométrique sans utiliser la notion de coordonnées, le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute...) Bolzano introduisit en 1804 des opérations sur les points, droites et plans, lesquelles sont les précurseurs des vecteurs ^[1]. Ce travail trouve un écho dans la conception des coordonnées barycentriques ^[2] par Möbius en 1827. L'étape fondatrice de la définition des vecteurs fut la définition par Bellavitis du bipoint, qui est un segment orienté (une extrémité est une origine et l'autre un but). La relation d'équipollence, qui rend équivalents deux bipoints lorsqu'ils déterminent un parallélogramme (Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont...), achève ainsi de définir les vecteurs.

D'autres exemples d'espaces vectoriels apparaissent avec la présentation des nombres complexes par Argand et Hamilton, puis celle des quaternions par ce dernier, comme des éléments des espaces vectoriels respectifs et . Les systèmes linéaires, définis par Laguerre dès 1867, fournissent encore une série d'espaces vectoriels réels.

En 1857, Cayley introduisit la notation matricielle, qui permit d'harmoniser les notations et de simplifier l'écriture des applications linéaires entre espaces vectoriels. Il ébaucha également les opérations sur ces objets.

Vers la même époque, Grassmann reprit le calcul barycentrique ^[3] initié par Möbius en envisageant des ensembles d'objets abstraits munis d'opérations. Son travail dépassait le cadre des espaces vectoriels car, en définissant aussi la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire...), il aboutissait à la notion d'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...). On y retrouve néanmoins les concepts de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille; les dimensions d'une pièce...) et d'indépendance linéaire (En algèbre linéaire, étant donnée une famille de vecteurs, les vecteurs de la...), ainsi que le produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique...) apparu en 1844. La primauté de ces découvertes est disputée à Cauchy avec la publication de Sur les clefs algébrique dans les Comptes Rendus.

Le mathématicien italien Peano, dont une contribution importante a été l'axiomatisation rigoureuse des concepts existants — notamment la construction des ensembles usuels — a été un des premiers à donner une définition contemporaine du concept d'espace vectoriel, vers la fin du XIXe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui...) ^[4].

Un développement important de ce concept est dû à la construction des espaces de fonctions par Lebesgue, construction qui a été formalisée au cours du XXe siècle par Hilbert et Banach, lors de sa thèse (Une thèse (du nom grec thesis, se traduisant par «action de poser») est...) de doctorat (Le doctorat (du latin doctorem, de doctum, supin de docere, enseigner) est généralement...) en 1920.

C'est à cette époque que l'interaction (Une interaction est un échange d'information, d'affects ou d'énergie entre deux agents au sein...) entre l'analyse fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions....) naissante et l'algèbre se fait sentir, notamment avec l'introduction de concepts clés tels que les espaces de fonctions p-intégrables ou encore les espaces de Hilbert. C'est à cette époque qu'apparaissent les premières études sur les espaces vectoriels de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille; les dimensions d'une...) infinie.

Sources

• MathPhysics
• An Introduction to Linear Algebra, Leonid Mirsky - 1990
• Introduction to Linear Algebra and Differential Equations, John Warren Dettman - 1986
• (lien)

Définitions

Objet: espace vectoriel

Soit K un corps. On appelle K-espace vectoriel tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) triplet (E,+,•) où:

• E est un ensemble;
• (E,+) est un groupe abélien;
• • est une loi externe sur E à scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les...) dans K telle que:
  • l'élément unité "1" du corps K est neutre à gauche pour la loi "•":
    
  • la loi • est distributive à gauche par rapport à l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la...) + de E:
    
  • La loi • est exodistributive à droite par rapport à l'addition du corps K:
    
  • La loi • est exoassociative par rapport à la multiplication du corps K (elle l'"importe" dans l'espace vectoriel):
    .

Selon le corps K, on peut parler de K-espace vectoriel, espace vectoriel rationnel, réel ou complexe. Cette terminologie s'utilise notamment en analyse.

Des axiomes ci-dessus découlent les propriétés suivantes:

• L'élément zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr,...) "0" du corps K est exoabsorbant à gauche pour la loi •:
  
• L'élément neutre de l'addition vectorielle est absorbant à droite pour la loi •:
  .

Dans certains ouvrages, les vecteurs peuvent être notés surmontés d'une flèche ou écrits avec des lettres en gras.

Sous-espace vectoriel (En algèbre linéaire, étant donné un espace vectoriel E sur un corps K, un...)

Un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel E est un sous-groupe additif F de E stable par l'action de K. Dit autrement, la somme de deux éléments de F est un élément de F et le produit d'un scalaire par un vecteur de F appartient à F. En d'autres termes, on demande à ce que F soit stable par combinaison linéaire (En mathématiques, les combinaisons linéaires sont un concept central de l'algèbre...).

Une combinaison (Une combinaison peut être:) linéaire est une somme finie de vecteurs affectés de coefficients (scalaires). La somme d'une famille finie (En mathématiques, la notion de famille est une généralisation de celle de suite, suite finie ou...) d'éléments d'un groupe abélien est connue. La combinaison linéaire d'une famille de vecteurs ayant pour coefficients est le vecteur de E donné par:

.

Lorsque l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) d'indexation est infini, il est nécessaire de supposer que le support de la famille soit fini.

Somme de sous-espaces vectoriels

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d'un K-espace vectoriel E. On définit la somme de F et de G par:

F+G est un sous-espace vectoriel de E, c'est même le plus petit sous-espace vectoriel de E (au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) de l'inclusion) contenant F et G.

Exemples

La classe des espaces vectoriels n'est pas un ensemble. La classe des espaces vectoriels sur un corps fixé, identifiés à isomorphisme linéaire près, n'est pas non plus un ensemble. De fait, la liste suivante ne saurait être exhaustive. Les espaces vectoriels cités trouvent leur intérêt dans les structures additives dont ils sont naturellement munis.

• L'espace nul est l'espace vectoriel sur un corps K comportant un unique élément, qui est nécessairement le vecteur nul. L'espace nul est l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) initial et l'objet final de la catégorie des espaces vectoriels sur K.
• Le corps K se présente lui-même comme un espace vectoriel: l'addition et la multiplication fournissent respectivement la loi interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la...) et la loi externe. Plus généralement, tout plongement de K dans un corps L (ie L est une extension de K), munit L d'une structure d'espace vectoriel sur K (voir extension de corps).
• Pour tout ensemble I, le produit infini est un K-espace vectoriel muni des lois d'addition terme à terme et de multiplication extérieure sur chaque terme:
  • 
  • 

  En particulier le vecteur nul est la famille dont tous les termes sont nuls. Ces espaces servent (Servent est la contraction du mot serveur et client.) de modèles aux espaces vectoriels.

• Plus généralement, le produit infini d'une famille d'espaces vectoriels sur K est un espace vectoriel sur K. Ce produit est le produit des espaces vectoriels au sens des catégories.
• Pour une famille (E_i) d'espaces vectoriels, l'ensemble des familles à support fini forme un sous-espace vectoriel du produit des E_i, appelé la somme des espaces E_i.

• l'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes. Les lois "+" et "•" sont définies par:

  si et :

  • 
  • 
  • neutre pour l'addition: la matrice nulle, celle dont tous les coefficients sont nuls

• l'ensemble des solutions d'une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) différentielle linéaire...

• l'ensemble des formes n-linéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension n est un espace vectoriel de dimension 1. C'est un résultat à la base de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie «contempler, observer,...) du déterminant.

Premières propriétés et dimension

Dimension

Familles libres, familles génératrices, bases

Une famille issue d'un espace vectoriel E est une "collection" de vecteurs de E.

Une famille d'éléments de E est dite libre (sur ) lorsque toute combinaison linéaire d'éléments de à coefficients non tous nuls est non nulle, autrement dit lorsque la seule combinaison linéaire nulle d'éléments de est celle dont tous les coefficients sont nuls; on dit aussi dans ce cas que les vecteurs de la famille sont linéairement indépendants. Une famille d'éléments de E est dite liée lorsqu'elle n'est pas libre; cela signifie qu'il existe une combinaison linéaire nulle des éléments de cette famille à coefficients non tous nuls (c'est ce qu'on appelle une relation de dépendance linéaire).

Par exemple, une famille d'un seul vecteur non nul est toujours libre. A contrario, une famille quelconque comportant le vecteur nul est liée.

On peut montrer qu'une famille de deux vecteurs de E est liée si et seulement s'il existe un scalaire tel que ou un scalaire tel que . On dit dans ce cas que les deux vecteurs sont colinéaires. En revanche, rien n'assure qu'une famille liée comportant plus de trois vecteurs contienne forcément deux vecteurs colinéaires.

Une famille d'éléments de E est dite génératrice (de E) lorsque tout élément de E peut s'exprimer d'au moins une manière sous la forme d'une combinaison linéaire des éléments de cette famille.

On appelle base de l'espace vectoriel E toute famille d'éléments de E libre et génératrice.

On peut montrer qu'une famille d'éléments de E est une base si et seulement si tout élément u de E s'exprime de manière unique comme combinaison linéaire des éléments de .

On démontre au moyen de l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma,...) du choix que tout espace vectoriel non réduit à admet au moins une base.

Dimension finie

Si un espace vectoriel E admet une base ayant un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article «Nombre...) fini d d'éléments, alors toute base de E a ce même cardinal d.

L'entier d est appelé la dimension de E, notée , ou s'il n'y a pas d'ambiguïté, . On dit alors que E est un espace vectoriel de dimension finie (sur ), égale à d.

On convient qu'un espace vectoriel réduit à (et qui n'a donc pas de base) est de dimension finie, égale à 0.

On appelle droite vectorielle tout espace vectoriel de dimension finie égale à 1 et plan vectoriel tout espace vectoriel de dimension finie égale à 2.

Les espaces vectoriels qui ne sont pas de dimension finie sont dits de dimension infinie (cf. les exemples en fin d'article). Pour qu'un espace vectoriel E soit de dimension infinie, il faut et il suffit qu'il existe une famille libre infinie d'éléments de E.

• Un espace vectoriel E est de dimension finie si et seulement s'il admet une famille génératrice ayant un nombre fini d'éléments.

Soit E un espace vectoriel de dimension finie (non nulle) égale à n. Alors:

• toute famille génératrice de E a au moins n éléments; si une famille génératrice de E a n éléments, c'est une base de E (on dit que les bases sont les familles génératrices minimales)
• toute famille libre de E a au plus n éléments; si une famille libre de E a n éléments, c'est une base de E (on dit que les bases sont les familles libres maximales).

Soient E un espace vectoriel de dimension finie n strictement supérieure à 1, et une famille libre de vecteurs de E telle que (autrement dit, une famille libre qui n'est pas une base: elle n'est pas maximale).

Alors, il existe vecteurs de E, qu'on peut noter , tels que la famille soit une base de E.

On dit qu'on a complété la famille libre en une base de E. (Voir le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de la base incomplète).

Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Alors:

• tout sous-espace vectoriel F de E est de dimension finie, et dim F ≤ dim E
• si F est un sous-espace vectoriel de E tel que dim F = dim E, alors F = E.

Soient E un espace vectoriel de dimension finie, et deux sous-espaces vectoriels de E. Alors:

.

Supplémentaire et somme directe (En mathématiques, et plus précisément en algèbre, le terme de somme directe...)

Soit un espace vectoriel et un sous-espace vectoriel de E. On dit du sous-espace vectoriel qu'il est un supplémentaire de dans si:

On dit alors que est somme directe de et de et on note . Lorsque c'est le cas, tout vecteur de se décompose de manière unique en une somme de deux vecteurs, l'un appartenant à et l'autre à .

Si un sous-espace vectoriel admet toujours un supplémentaire, l'unicité de ce dernier n'est absolument pas imposée. (Par exemple, dans , les suplémentaires d'un plan quelconque sont toutes les droites non contenues dans ce plan. Il existe donc ici une infinité de supplémentaires différents).

La généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de...) à une somme directe de sous-espaces vectoriels demande une légère attention. En effet, soit une famille de sous-espace vectoriels de , la condition "l'intersection des sous-espaces deux à deux est " est nécessaire mais non suffisante pour définir une somme directe. (Penser au contre exemple dans le plan des trois droites dirigées par , et dont l'intersection deux à deux est mais qui ne peuvent pas être en somme directe).

Les sous-espaces de la famille des sont en somme directe si:

[à continuer]

Applications linéaires

Définitions

Soient et deux espaces vectoriels.

• Une application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur...) de dans est une application telle que:

.

L'ensemble des applications linéaire de dans est noté . Lorsque , on parle d'endomorphisme de et on note leur ensemble .

• Une application linéaire du -espace vectoriel dans est nommée forme linéaire.

• Soit .

On appelle noyau de et on note l'ensemble .

On appelle image de et on note l'ensemble .

La dimension de l'image est appellée rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du...) de . On le note .

Propriétés et théorèmes

• L'image et le noyau sont respectivement sous-espaces vectoriels de l'espace d'arrivée de de l'espace de départ.

• de dimension finie, . Alors définit un isomorphisme de tout supplémentaire de dans .

• En découle, en dimension finie toujours, le théorème du rang:

,

que l'on peut reformuler sous la forme d'où le nom du théorème.

• On identifie souvent à l'ensemble des matrices de taille , où et sont les dimensions respectives de et .

Exemples

• L'application nulle, les homothéties (dans le cas des endomorphismes) sont des exemples triviaux d'applications linéaires.

Espaces vectoriels topologiques

On peut munir un espace vectoriel d'une structure topologique compatible avec la structure linéaire. Compatible signifie que l'addition et la multiplication par un scalaire doivent être continues. Des exemples fondamentaux d'espaces vectoriels topologiques sont les espaces de Banach et espaces de Hilbert.

Dualité

Définitions

est un -espace vectoriel.

• On appelle dual de et on note l'ensemble des formes linéaires sur . ( Attention à la notation, il n'y a ici aucun rapport entre et ).
• Un base de est appelée base duale.

Propriétés en dimension finie

• 
• Soit un sous-espace vectoriel de . On a l'équivalence suivante:

est un hyperplan de ,

c'est-à-dire que tout hyperplan est le noyau d'une forme linéaire non nulle.

• Soit une base de . Il existe une unique base duale telle que:

, où est le symbole de Kronecker.

On dit alors que est la base duale associée à .

Objets algébriques liés

Modules

Les modules généralisent les espaces vectoriels puisqu'ils ont les mêmes axiomes de départ, mise à part le fait, important, que la loi externe est définie sur un anneau commutatif et non sur un corps.

De nombreuses propriétés vraies dans les espaces vectoriels ne sont plus vraies dans les modules, par exemple l'existence d'une base n'est plus assurée dans un modules.

Algèbres

[à compléter]