🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (2023)

En algÚbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.

Étant donnĂ© un corps (commutatif) K, un espace vectoriel (En algĂšbre linĂ©aire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...) E sur K est un groupe commutatif (dont la loi est notĂ©e +) munie d'une action compatible de K (voir la dĂ©finition (Une dĂ©finition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'oĂč la...) exacte). Les Ă©lĂ©ments de E sont appelĂ©s des vecteurs, et les Ă©lĂ©ments de K des scalaires.

Historique

Les premiĂšres traces (TRACES (TRAde Control and Expert System) est un rĂ©seau vĂ©tĂ©rinaire sanitaire de...) de discussion concernant les espaces vectoriels 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (1) et 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (2) peuvent se reconnaĂźtre dans les Ă©crits des mathĂ©maticiens français Descartes et Fermat, vers 1636. Il Ă©tait alors plutĂŽt question de reprĂ©sentation graphique Ă  partir des coordonnĂ©es que du concept de vecteur, encore inconnu.

Afin de parvenir à une résolution géométrique sans utiliser la notion de coordonnées, le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute...) Bolzano introduisit en 1804 des opérations sur les points, droites et plans, lesquelles sont les précurseurs des vecteurs [1]. Ce travail trouve un écho dans la conception des coordonnées barycentriques [2] par Möbius en 1827. L'étape fondatrice de la définition des vecteurs fut la définition par Bellavitis du bipoint, qui est un segment orienté (une extrémité est une origine et l'autre un but). La relation d'équipollence, qui rend équivalents deux bipoints lorsqu'ils déterminent un parallélogramme (Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatÚre (convexe) dont les cÎtés sont...), achÚve ainsi de définir les vecteurs.

D'autres exemples d'espaces vectoriels apparaissent avec la prĂ©sentation des nombres complexes par Argand et Hamilton, puis celle des quaternions par ce dernier, comme des Ă©lĂ©ments des espaces vectoriels respectifs 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (3) et 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (4). Les systĂšmes linĂ©aires, dĂ©finis par Laguerre dĂšs 1867, fournissent encore une sĂ©rie d'espaces vectoriels rĂ©els.

En 1857, Cayley introduisit la notation matricielle, qui permit d'harmoniser les notations et de simplifier l'écriture des applications linéaires entre espaces vectoriels. Il ébaucha également les opérations sur ces objets.

Vers la mĂȘme Ă©poque, Grassmann reprit le calcul barycentrique [3] initiĂ© par Möbius en envisageant des ensembles d'objets abstraits munis d'opĂ©rations. Son travail dĂ©passait le cadre des espaces vectoriels car, en dĂ©finissant aussi la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opĂ©rations de l'arithmĂ©tique Ă©lĂ©mentaire...), il aboutissait Ă  la notion d'algĂšbre (L'algĂšbre, mot d'origine arabe al-jabr (Ű§Ù„ŰŹŰšŰ±), est la branche...). On y retrouve nĂ©anmoins les concepts de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie Ă  la taille; les dimensions d'une piĂšce...) et d'indĂ©pendance linĂ©aire (En algĂšbre linĂ©aire, Ă©tant donnĂ©e une famille de vecteurs, les vecteurs de la...), ainsi que le produit scalaire (En gĂ©omĂ©trie vectorielle, le produit scalaire est une opĂ©ration algĂ©brique...) apparu en 1844. La primautĂ© de ces dĂ©couvertes est disputĂ©e Ă  Cauchy avec la publication de Sur les clefs algĂ©brique dans les Comptes Rendus.

Le mathĂ©maticien italien Peano, dont une contribution importante a Ă©tĂ© l'axiomatisation rigoureuse des concepts existants — notamment la construction des ensembles usuels — a Ă©tĂ© un des premiers Ă  donner une dĂ©finition contemporaine du concept d'espace vectoriel, vers la fin du XIXe siĂšcle (Un siĂšcle est maintenant une pĂ©riode de cent annĂ©es. Le mot vient du latin saeculum, i, qui...) [4].

Un développement important de ce concept est dû à la construction des espaces de fonctions par Lebesgue, construction qui a été formalisée au cours du XXe siÚcle par Hilbert et Banach, lors de sa thÚse (Une thÚse (du nom grec thesis, se traduisant par «action de poser») est...) de doctorat (Le doctorat (du latin doctorem, de doctum, supin de docere, enseigner) est généralement...) en 1920.

C'est à cette époque que l'interaction (Une interaction est un échange d'information, d'affects ou d'énergie entre deux agents au sein...) entre l'analyse fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfÚre à certaines fonctions....) naissante et l'algÚbre se fait sentir, notamment avec l'introduction de concepts clés tels que les espaces de fonctions p-intégrables ou encore les espaces de Hilbert. C'est à cette époque qu'apparaissent les premiÚres études sur les espaces vectoriels de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille; les dimensions d'une...) infinie.

Sources

  • MathPhysics
  • An Introduction to Linear Algebra, Leonid Mirsky - 1990
  • Introduction to Linear Algebra and Differential Equations, John Warren Dettman - 1986
  • (lien)

DĂ©finitions

Objet: espace vectoriel

Soit K un corps. On appelle K-espace vectoriel tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprĂ©tĂ© comme le monde ou...) triplet (E,+,‱) oĂč:

  • E est un ensemble;
  • (E,+) est un groupe abĂ©lien;
  • ‱ est une loi externe sur E Ă  scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indĂ©pendant du choix de la base choisie pour exprimer les...) dans K telle que:
    • l'Ă©lĂ©ment unitĂ© "1" du corps K est neutre Ă  gauche pour la loi "‱":
      🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (5)
    • la loi ‱ est distributive Ă  gauche par rapport Ă  l'addition (L'addition est une opĂ©ration Ă©lĂ©mentaire, permettant notamment de dĂ©crire la...) + de E:
      🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (6)
    • La loi ‱ est exodistributive Ă  droite par rapport Ă  l'addition du corps K:
      🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (7)
    • La loi ‱ est exoassociative par rapport Ă  la multiplication du corps K (elle l'"importe" dans l'espace vectoriel):
      🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (8).

Selon le corps K, on peut parler de K-espace vectoriel, espace vectoriel rationnel, réel ou complexe. Cette terminologie s'utilise notamment en analyse.

Des axiomes ci-dessus découlent les propriétés suivantes:

  • L'Ă©lĂ©ment zĂ©ro (Le chiffre zĂ©ro (de l’italien zero, dĂ©rivĂ© de l’arabe sifr,...) "0" du corps K est exoabsorbant Ă  gauche pour la loi ‱:
    🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (9)
  • L'Ă©lĂ©ment neutre de l'addition vectorielle est absorbant Ă  droite pour la loi ‱:
    🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (10).

Dans certains ouvrages, les vecteurs peuvent ĂȘtre notĂ©s surmontĂ©s d'une flĂšche ou Ă©crits avec des lettres en gras.

Sous-espace vectoriel (En algÚbre linéaire, étant donné un espace vectoriel E sur un corps K, un...)

Un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel E est un sous-groupe additif F de E stable par l'action de K. Dit autrement, la somme de deux éléments de F est un élément de F et le produit d'un scalaire par un vecteur de F appartient à F. En d'autres termes, on demande à ce que F soit stable par combinaison linéaire (En mathématiques, les combinaisons linéaires sont un concept central de l'algÚbre...).

Une combinaison (Une combinaison peut ĂȘtre:) linĂ©aire est une somme finie de vecteurs affectĂ©s de coefficients (scalaires). La somme d'une famille finie (En mathĂ©matiques, la notion de famille est une gĂ©nĂ©ralisation de celle de suite, suite finie ou...) d'Ă©lĂ©ments d'un groupe abĂ©lien est connue. La combinaison linĂ©aire d'une famille de vecteurs 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (11) ayant pour coefficients 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (12) est le vecteur de E donnĂ© par:

🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (13).

Lorsque l'ensemble (En thĂ©orie des ensembles, un ensemble dĂ©signe intuitivement une collection...) d'indexation 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (14) est infini, il est nĂ©cessaire de supposer que le support de la famille 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (15) soit fini.

Somme de sous-espaces vectoriels

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d'un K-espace vectoriel E. On définit la somme de F et de G par:

🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (16)

F+G est un sous-espace vectoriel de E, c'est mĂȘme le plus petit sous-espace vectoriel de E (au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) de l'inclusion) contenant F et G.

Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...)

  • Montrons que 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (17) est un espace vectoriel.
🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (18) est clairement inclus dans 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (19) puisque E est stable par addition.:D'autre part, 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (20) et 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (21) sont des espaces vectoriels donc contiennent 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (22), donc 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (23).
ConsidĂ©rons deux Ă©lĂ©ments 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (24) et 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (25) de 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (26) et un scalaire 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (27).
🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (28)
🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (29)
Donc 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (30) est un sous-espace vectoriel de 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (31).
  • D'autre part, quel que soit 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (32) Ă©lĂ©ment de l'un des deux espaces de dĂ©part, 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (33) donc 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (34) appartient Ă  🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (35).
On a donc 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (36).
  • RĂ©ciproquement, tout espace vectoriel contenant 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (37) et 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (38) contient toutes les combinaisons linĂ©aires d'Ă©lĂ©ments de 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (39) et de 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (40) donc contient clairement 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (41), qui est par consĂ©quent le plus petit sous-espace vectoriel de 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (42) contenant Ă  la fois 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (43) et 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (44).

Exemples

La classe des espaces vectoriels n'est pas un ensemble. La classe des espaces vectoriels sur un corps fixĂ©, identifiĂ©s Ă  isomorphisme linĂ©aire prĂšs, n'est pas non plus un ensemble. De fait, la liste suivante ne saurait ĂȘtre exhaustive. Les espaces vectoriels citĂ©s trouvent leur intĂ©rĂȘt dans les structures additives dont ils sont naturellement munis.

  • L'espace nul est l'espace vectoriel sur un corps K comportant un unique Ă©lĂ©ment, qui est nĂ©cessairement le vecteur nul. L'espace nul est l'objet (De maniĂšre gĂ©nĂ©rale, le mot objet (du latin objectum, 1361) dĂ©signe une entitĂ© dĂ©finie dans...) initial et l'objet final de la catĂ©gorie des espaces vectoriels sur K.
  • Le corps K se prĂ©sente lui-mĂȘme comme un espace vectoriel: l'addition et la multiplication fournissent respectivement la loi interne (En France, ce nom dĂ©signe un mĂ©decin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, Ă  la...) et la loi externe. Plus gĂ©nĂ©ralement, tout plongement de K dans un corps L (ie L est une extension de K), munit L d'une structure d'espace vectoriel sur K (voir extension de corps).
  • Pour tout ensemble I, le produit infini 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (45) est un K-espace vectoriel muni des lois d'addition terme Ă  terme et de multiplication extĂ©rieure sur chaque terme:
    • 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (46)
    • 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (47)
    En particulier le vecteur nul est la famille dont tous les termes sont nuls. Ces espaces servent (Servent est la contraction du mot serveur et client.) de modĂšles aux espaces vectoriels.
  • Plus gĂ©nĂ©ralement, le produit infini d'une famille d'espaces vectoriels sur K est un espace vectoriel sur K. Ce produit est le produit des espaces vectoriels au sens des catĂ©gories.
  • Pour une famille (Ei) d'espaces vectoriels, l'ensemble des familles Ă  support fini 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (48) forme un sous-espace vectoriel du produit des Ei, appelĂ© la somme des espaces Ei.
  • l'ensemble 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (49) des matrices Ă  n lignes et p colonnes. Les lois "+" et "‱" sont dĂ©finies par:
    si 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (50) et 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (51):
    • 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (52)
    • 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (53)
    • neutre pour l'addition: la matrice nulle, celle dont tous les coefficients sont nuls
  • l'ensemble des solutions d'une Ă©quation (En mathĂ©matiques, une Ă©quation est une Ă©galitĂ© qui lie diffĂ©rentes quantitĂ©s, gĂ©nĂ©ralement...) diffĂ©rentielle linĂ©aire...
  • l'ensemble des formes n-linĂ©aires alternĂ©es sur un espace vectoriel de dimension n est un espace vectoriel de dimension 1. C'est un rĂ©sultat Ă  la base de la thĂ©orie (Le mot thĂ©orie vient du mot grec theorein, qui signifie «contempler, observer,...) du dĂ©terminant.

PremiÚres propriétés et dimension

Dimension

Familles libres, familles génératrices, bases

Une famille issue d'un espace vectoriel E est une "collection" de vecteurs de E.

Une famille 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (54) d'Ă©lĂ©ments de E est dite libre (sur 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (55)) lorsque toute combinaison linĂ©aire d'Ă©lĂ©ments de 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (56) Ă  coefficients non tous nuls est non nulle, autrement dit lorsque la seule combinaison linĂ©aire nulle d'Ă©lĂ©ments de 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (57) est celle dont tous les coefficients sont nuls; on dit aussi dans ce cas que les vecteurs de la famille sont linĂ©airement indĂ©pendants. Une famille d'Ă©lĂ©ments de E est dite liĂ©e lorsqu'elle n'est pas libre; cela signifie qu'il existe une combinaison linĂ©aire nulle des Ă©lĂ©ments de cette famille Ă  coefficients non tous nuls (c'est ce qu'on appelle une relation de dĂ©pendance linĂ©aire).

Par exemple, une famille d'un seul vecteur non nul est toujours libre. A contrario, une famille quelconque comportant le vecteur nul est liée.

On peut montrer qu'une famille 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (58) de deux vecteurs de E est liĂ©e si et seulement s'il existe un scalaire 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (59) tel que 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (60) ou un scalaire 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (61) tel que 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (62). On dit dans ce cas que les deux vecteurs sont colinĂ©aires. En revanche, rien n'assure qu'une famille liĂ©e comportant plus de trois vecteurs contienne forcĂ©ment deux vecteurs colinĂ©aires.

Une famille d'éléments de E est dite génératrice (de E) lorsque tout élément de E peut s'exprimer d'au moins une maniÚre sous la forme d'une combinaison linéaire des éléments de cette famille.

On appelle base de l'espace vectoriel E toute famille d'éléments de E libre et génératrice.

On peut montrer qu'une famille 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (63) d'Ă©lĂ©ments de E est une base si et seulement si tout Ă©lĂ©ment u de E s'exprime de maniĂšre unique comme combinaison linĂ©aire des Ă©lĂ©ments de 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (64).

On dĂ©montre au moyen de l'axiome (Un axiome (du grec ancien αΟÎčωΌα/axioma,...) du choix que tout espace vectoriel non rĂ©duit Ă  🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (65) admet au moins une base.

Dimension finie

Si un espace vectoriel E admet une base ayant un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitĂ©e Ă  l’article «Nombre...) fini d d'Ă©lĂ©ments, alors toute base de E a ce mĂȘme cardinal d.

L'entier d est appelĂ© la dimension de E, notĂ©e 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (66), ou s'il n'y a pas d'ambiguĂŻtĂ©, 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (67). On dit alors que E est un espace vectoriel de dimension finie (sur 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (68)), Ă©gale Ă  d.

On convient qu'un espace vectoriel rĂ©duit Ă  🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (69) (et qui n'a donc pas de base) est de dimension finie, Ă©gale Ă  0.

On appelle droite vectorielle tout espace vectoriel de dimension finie Ă©gale Ă  1 et plan vectoriel tout espace vectoriel de dimension finie Ă©gale Ă  2.

Les espaces vectoriels qui ne sont pas de dimension finie sont dits de dimension infinie (cf. les exemples en fin d'article). Pour qu'un espace vectoriel E soit de dimension infinie, il faut et il suffit qu'il existe une famille libre infinie d'éléments de E.

  • Un espace vectoriel E est de dimension finie si et seulement s'il admet une famille gĂ©nĂ©ratrice ayant un nombre fini d'Ă©lĂ©ments.

Soit E un espace vectoriel de dimension finie (non nulle) Ă©gale Ă  n. Alors:

  • toute famille gĂ©nĂ©ratrice de E a au moins n Ă©lĂ©ments; si une famille gĂ©nĂ©ratrice de E a n Ă©lĂ©ments, c'est une base de E (on dit que les bases sont les familles gĂ©nĂ©ratrices minimales)
  • toute famille libre de E a au plus n Ă©lĂ©ments; si une famille libre de E a n Ă©lĂ©ments, c'est une base de E (on dit que les bases sont les familles libres maximales).

Soient E un espace vectoriel de dimension finie n strictement supĂ©rieure Ă  1, et 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (70) une famille libre de vecteurs de E telle que 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (71) (autrement dit, une famille libre qui n'est pas une base: elle n'est pas maximale).

Alors, il existe 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (72) vecteurs de E, qu'on peut noter 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (73), tels que la famille 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (74) soit une base de E.

On dit qu'on a complĂ©tĂ© la famille libre 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (75) en une base de E. (Voir le thĂ©orĂšme (Un thĂ©orĂšme est une proposition qui peut ĂȘtre mathĂ©matiquement dĂ©montrĂ©e, c'est-Ă -dire une...) de la base incomplĂšte).

Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Alors:

  • tout sous-espace vectoriel F de E est de dimension finie, et dim F ≀ dim E
  • si F est un sous-espace vectoriel de E tel que dim F = dim E, alors F = E.

Soient E un espace vectoriel de dimension finie, et 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (76) deux sous-espaces vectoriels de E. Alors:

🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (77).

Supplémentaire et somme directe (En mathématiques, et plus précisément en algÚbre, le terme de somme directe...)

Soit 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (78) un espace vectoriel et 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (79) un sous-espace vectoriel de E. On dit du sous-espace vectoriel 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (80) qu'il est un supplĂ©mentaire de 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (81) dans 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (82) si:

  • 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (83)
  • 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (84)

On dit alors que 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (85) est somme directe de 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (86) et de 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (87) et on note 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (88). Lorsque c'est le cas, tout vecteur de 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (89) se dĂ©compose de maniĂšre unique en une somme de deux vecteurs, l'un appartenant Ă  🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (90) et l'autre Ă  🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (91).

démonstration

🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (92)

🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (93)

🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (94)

C'est une contradiction (Une contradiction existe lorsque deux affirmations, idĂ©es, ou actions s'excluent mutuellement.) a l'hypothĂšse de somme directe. La dĂ©composition (En biologie, la dĂ©composition est le processus par lequel des corps organisĂ©s, qu'ils...), si elle existe, est donc unique. Or l'existence d'une telle dĂ©composition est assurĂ©e par la dĂ©finition mĂȘme de la somme d'espaces vectoriels.

Si un sous-espace vectoriel admet toujours un supplĂ©mentaire, l'unicitĂ© de ce dernier n'est absolument pas imposĂ©e. (Par exemple, dans 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (95), les suplĂ©mentaires d'un plan quelconque sont toutes les droites non contenues dans ce plan. Il existe donc ici une infinitĂ© de supplĂ©mentaires diffĂ©rents).

La gĂ©nĂ©ralisation (La gĂ©nĂ©ralisation est un procĂ©dĂ© qui consiste Ă  abstraire un ensemble de...) Ă  une somme directe de 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (96) sous-espaces vectoriels demande une lĂ©gĂšre attention. En effet, soit 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (97) une famille de sous-espace vectoriels de 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (98), la condition "l'intersection des sous-espaces deux Ă  deux est 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (99)" est nĂ©cessaire mais non suffisante pour dĂ©finir une somme directe. (Penser au contre exemple dans le plan 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (100) des trois droites dirigĂ©es par 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (101),🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (102) et 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (103) dont l'intersection deux Ă  deux est 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (104) mais qui ne peuvent pas ĂȘtre en somme directe).

Les sous-espaces de la famille des 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (105) sont en somme directe si:

🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (106)

[Ă  continuer]

Applications linéaires

DĂ©finitions

Soient 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (107) et 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (108) deux espaces vectoriels.

  • Une application linĂ©aire (En mathĂ©matiques, une application linĂ©aire (aussi appelĂ©e opĂ©rateur...) 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (109) de 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (110) dans 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (111) est une application telle que:

🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (112).

L'ensemble des applications linĂ©aire de 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (113) dans 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (114) est notĂ© 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (115). Lorsque 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (116), on parle d'endomorphisme de 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (117) et on note leur ensemble 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (118).

  • Une application linĂ©aire du 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (119)-espace vectoriel 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (120) dans 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (121) est nommĂ©e forme linĂ©aire.
  • Soit 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (122).

On appelle noyau de 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (123) et on note 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (124) l'ensemble 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (125).

On appelle image de 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (126) et on note 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (127) l'ensemble 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (128).

La dimension de l'image est appellĂ©e rang ( MathĂ©matiques En algĂšbre linĂ©aire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du...) de 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (129). On le note 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (130).

Propriétés et théorÚmes

  • L'image et le noyau sont respectivement sous-espaces vectoriels de l'espace d'arrivĂ©e de de l'espace de dĂ©part.
  • 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (131) de dimension finie, 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (132). Alors 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (133) dĂ©finit un isomorphisme de tout supplĂ©mentaire de 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (134) dans 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (135).
  • En dĂ©coule, en dimension finie toujours, le thĂ©orĂšme du rang:

🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (136),

que l'on peut reformuler sous la forme 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (137) d'oĂč le nom du thĂ©orĂšme.

  • On identifie souvent 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (138) Ă  🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (139) l'ensemble des matrices de taille 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (140), oĂč 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (141) et 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (142) sont les dimensions respectives de 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (143) et 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (144).

Exemples

  • L'application nulle, les homothĂ©ties (dans le cas des endomorphismes) sont des exemples triviaux d'applications linĂ©aires.

Espaces vectoriels topologiques

On peut munir un espace vectoriel d'une structure topologique compatible avec la structure linĂ©aire. Compatible signifie que l'addition et la multiplication par un scalaire doivent ĂȘtre continues. Des exemples fondamentaux d'espaces vectoriels topologiques sont les espaces de Banach et espaces de Hilbert.

Dualité

DĂ©finitions

🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (145) est un 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (146)-espace vectoriel.

  • On appelle dual de 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (147) et on note 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (148) l'ensemble des formes linĂ©aires sur 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (149). ( Attention Ă  la notation, il n'y a ici aucun rapport entre 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (150) et 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (151) ).
  • Un base de 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (152) est appelĂ©e base duale.

Propriétés en dimension finie

  • 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (153)
  • Soit 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (154) un sous-espace vectoriel de 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (155). On a l'Ă©quivalence suivante:
🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (156) est un hyperplan de 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (157),
c'est-à-dire que tout hyperplan est le noyau d'une forme linéaire non nulle.
  • Soit 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (158) une base de 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (159). Il existe une unique base duale 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (160) telle que:
🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (161), oĂč 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (162) est le symbole de Kronecker.
On dit alors que 🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (163) est la base duale associĂ©e Ă  🔎 Espace vectoriel : dĂ©finition et explications (164).

Objets algébriques liés

Modules

Les modules gĂ©nĂ©ralisent les espaces vectoriels puisqu'ils ont les mĂȘmes axiomes de dĂ©part, mise Ă  part le fait, important, que la loi externe est dĂ©finie sur un anneau commutatif et non sur un corps.

De nombreuses propriétés vraies dans les espaces vectoriels ne sont plus vraies dans les modules, par exemple l'existence d'une base n'est plus assurée dans un modules.

AlgĂšbres

[à compléter]

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Author: Geoffrey Lueilwitz

Last Updated: 20/06/2023

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Name: Geoffrey Lueilwitz

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